kebarangkalian dan statistik, sisihan piawai bagi satu-satu taburan kebarangkalian, pembolehubah rawak atau populasi atau banyak set nilai adalah ukuran serakan nilainya. Ia sering diwakili dengan huruf σ (huruf kecil sigma). Ia ditakrifkan sebagai punca kuasa dua .varians

Dalam

Untuk memahami sisihan piawai, harus diingat bahawa varians adalah purata bagi kuasa dua kepada beza titik data dengan min. Sisihan piawai, yang merupakan punca kuasa dua kuantiti tersebut, lalu mengukur serakan data pada min, yang diukur dengan unit yang sama dengan data.

Lebih rasmi lagi, sisihan piawai ialah sisihan punca min kuasa dua (pmkd) bagi nilai dari min aritmetik mereka.

Sebagai contoh, dalam populasi {4, 8}, min adalah 6 dan sisihan dari min ialah {−2, 2}. Sisihan tersebut dikuasa duakan lalu menjadi {4, 4}, puratanya (varians) adalah 4. Maka, sisihan piawai ialah 2. Dalam kes ini, 100% nilai dalam populasi adalah pada satu sisihan piawai min.

Sisihan piawai adalah pengukuran yang biasa bagi serakan statistik, mengukur betapa lebarnya nilai dalam set data. Jika kebanyakan titik data hampir dengan min, maka sisihan piawai adalah kecil; jika banyak titik data jauh dari min, maka, sisihan piawai adalah besar. Jika semua data adalah sama, maka sisihan piawai adalah sifar.

Bagi satu populasi, sisihan piawai boleh dianggar oleh sisihan piawai yang diubah (s) bagi sampel. Formula adalah diberi di bawah

 

 Diberi pemboleh ubah rawak (biru), sisihan piawai σ adalah ukuran serakan nilai pemboleh ubah rawak dari min μ.

 

Takrifan dan pengiraan

 

Contoh mudah

Katakan kita ingin mencari sisihan piawai bagi set nombor 4 dan 8.

Langkah 1: cari min aritmetik (atau purata) bagi 4 dan 8,

(4 + / 2 = 6.

Langkah 2: cari perbezaan antara setiap nombor dengan min,

4 − 6 = − 2

8 − 6 = 2.

Langkah 3: kuasa duakan kedua-dua perbezaan

( − 2)² = 4

2² = 4.

Langkah 4: jumlahkan kedua-duanya,

4 + 4 = 8.

Langkah 5: bahagikan jumlah dengan bilangan nombor (sini, kita ada dua nombor),

8 / 2 = 4.

Langkah 6: ambil punca kuasa yang bukan negatif,

Maka, sisihan piawainya ialah 2.

JULAT (Notasi: J)

• Bagi data yang tidak dikelompokkan, julat adalah beza antara nilai terbesar dan nilai terkecil.
• Manakala data yang dikelompokkan, julat adalah selisih antara titik tengah kelas tertinggi dengan titik tengah kelas terendah.

 

KUARTIL (Notasi: Q)

• Kuartil adalah nilai yang membagi gugus data yang telah disusun berurutan (ascending) supaya menjadi empat bahagian yang sama besar.
• Nilai kuartil terdiri dari kuartil 1, kuartil 2 dan kuartil 3.

——|——|——-|——-

Q1 Q2 Q3

Q1 = kuartil bawah (1/4n )

Q2 = kuartil tengah/median (1/2n)

Q3 = kuartil atas (1/4n )

• Untuk data yang tidak dikelompokkan terlebih dahulu dicari mediannya, kemudian kuartil bawah dan kuartil atas.
•  Untuk data yang dikelompokkan rumusan kuartil identik dengan rumusan mencari median.

Q1 = L1 + [(1/4n - (å f)1)/fQ1] . c

Q3 = L3 + [(3/4n - (å f)3)/fQ3] . c

 

DESIL (Notasi: D)

• Desil membagi data (n) yang berurutan atas 10 bagian yang sama besar. (D,, D2, D3, . . . . . . , D9)

Di = Li + ((i/10)n – (å f)i)/fi . c

 

PERSENTIL (Notasi: P)

• Persentil membagi data (n) yang berurutan atas 100 bagian yang sama besar.

 (P1, P2, P3, . . . . . . ,P99) Pi = Li +( i/100 n – (åf)i)/fi . c

•  Cara mencari Desil dan Persentil identik dengan cara mencari kuartil.

ANEA 2305 TEKNIK ANALISIS ALAM SEKITAR 

2008/2009

 

Makmal 2                    ANALISIS QUARTILE

 

 

 

 

PENDAPATAN	PEKERJA
250.00-259.99	8
260.00-269.99	10
270.00-279.99	16
280.00-289.99	14
290.00-299.99	10
300.00-309.99	5
310.00-319.99	2
	Jumlah 65

 

 

Jadual di atas adalah pendapatan pekerja sebuah kilang dalam seminggu (RM).

 

1. Hitungkan Q₁, Q₂ dan Q₃ dalam pendapatan pekerja pekerja tersebut.
2. Juga hitungkan D₁, D₂,…….D₉ untuk data yang sama.

ANEA 2305 TEKNIK ANALISIS ALAM SEKITAR 

2008/2009

 

Makmal 1                  TABURAN KEKERAPAN (FREQUNECY DISTRIBUTIONS)

 

1.

17

45

38

27

6

48

11

57

34

22

 

a)       Susun nombor di atas dalam satu array

b)      Tentukan julat (range ) nombor-nombor ini

 

 

 

2.         Jadual dibawah menunjukkan markah dalam kursus ANEA 2305 bagi 80 pelajar

 

68	84	75	82	68	90	62	88	76	93
73	79	88	73	60	93	71	59	85	75
61	65	75	87	74	62	95	78	63	72
66	78	82	75	94	77	69	74	68	60
96	78	89	61	75	95	60	79	83	71
79	62	67	97	78	85	76	65	71	75
65	80	73	57	88	78	62	76	53	74
86	67	73	81	72	63	76	75	85	77

 

 

Dengan menggunakan jadual di atas, tentukan:

 

a)      Markahtertinggi

b)      Markah terendah

c)       Julat

d)      Markah bagi 5 pencapaian tertinggi

e)      Markah  bagi 5 pencapaian terendah

f)       Markah pelajar pada kedudukan ke 10 tertinggi

g)      Jumlah pelajar yang menerima markah 75 atau lebih

h)      Jumlah pelajar yang menerima markah kurang daripada 85

i)        Peratus pelajar  yang menerima markah lebih tinggi daripada 65 tetapi tidak melebihi 85

j)        Markah yang langsung tidak tertera

 

 

 

SET A:                                             

9.9     15.4     18.4     13.4     15.9

15.6    12.7     23.3     14.3     20.8

24.1    17.0     11.8       9.2     12.6

19.5      5.4       7.8     19.2     22.1

20.5    28.6     16.9     16.8       8.8 

 

 SET B:

SELANG KELAS	SEMPADAN KELAS	KEKERAPAN	KEKERAPAN RELATIF (f/n)
5.4 – 9.3	5.35 –  9.35	4	0.16
9.4 – 13.3	9.35 – 13.35	4	0.16
13.4 – 17.3	13.35 – 17.35	8	0.32
17.4 – 21.3	17.35 – 21.35	5	0.20
21.4 – 25.3	21.35 – 25.35	3	0.12
25.4 – 29.3	25.35 – 29.35	1	0.04
JUMLAH		25	1.00

 

 

 

 

 

 

Kirakan min, median dan mod bagi kedua-dua set data berikut.

  MIN:

MIN DATA TIDAK TERKUMPUL:

                          n

              x =         ∑  xi    = 9.9 + 15.6 + 24.1 + 19.5 + 20.5 + 15.4 + 12.7 + 17.0 + 5.4 + 28.8 +        

                     i=1           18.4 + 23.2 + 11.8 + 7.8 + 16.9 + 13.4 + 14.3 + 9.2 + 19.2 + 16.8 +

                            n           15.9 + 20.8 + 12.6 + 22.1 + 8.8                                                          

                                                                                    25

                                    =  400.00

                                         25

                                    = 16.00

 

MIN DATA TERKUMPUL:

SELANG KELAS	SEMPADAN KELAS	TANDA KELAS (xi)	KEKERAPAN (fi)	fixi	KEKERAPAN RELATIF (f/n)
5.4 – 9.3	5.35 –  9.35	7.35	4	29.40	0.16
9.4 – 13.3	9.35 – 13.35	11.35	4	45.40	0.16
13.4 – 17.3	13.35 – 17.35	15.35	8	122.80	0.32
17.4 – 21.3	17.35 – 21.35	19.35	5	96.75	0.20
21.4 – 25.3	21.35 – 25.35	23.35	3	70.05	0.12
25.4 – 29.3	25.35 – 29.35	27.35	1	27.36	0.04
JUMLAH			25	391.75	1.00

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                         

  n

                  x =   ∑  fixi                                     

               i=1                  =   391.75

                                                                  25

                                                         = 15.67

               

 

MEDIAN:

 

MEDIAN DATA TIDAK TERKUMPUL:

 

                                       5.4, 7.8, 8.8, 9.2, 9.9, 11.8, 12.6, 12.7, 13.4, 14.3, 15.4, 15.6, 15.9, 16.8,

             n + 1              =   16.9, 17.0, 18.4, 19.2, 19.5, 20.5, 20.8, 22.1, 23.3, 24.1, 28.6     

                 2                    

                                   =  15.9

 

                                               

MEDIAN DATA TERKUMPUL:      

 

SELANG KELAS	SEMPADAN KELAS ATAS	TANDA KELAS (xi)	KEKERAPAN (fi)	KEKERAPAN MELONGGOK	KEKERAPAN RELATIF (f/n)
-	5.35		0	0
5.4 – 9.3	9.35	7.35	4	4	0.16
9.4 – 13.3	13.35	11.35	4	8	0.16
13.4 – 17.3	17.35	15.35	8	16	0.32
17.4 – 21.3	21.35	19.35	5	21	0.20
21.4 – 25.3	25.35	23.35	3	24	0.12
25.4 – 29.3	29.35	27.35	1	25	0.04
JUMLAH			25		1.00

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

KELAS MEDIAN:                                               

                                                ∑fi + 1             = 25 + 1

                                                                        2                             2

                                                                       

                                                                        = 13

 

MEDIAN:

 

 

m= L +    ∑fi + 1  -fL                                        = 11.35 +  13 – 8

                      2                       x  C                                     16 – 8     X 4

                                                                                          

                           fm

                                                                         = 11.35 +    5      X 4

                                                                                            8

 

                                                                        = 13.85

  

MOD:

 

 MOD DATA TIDAK TERKUMPUL:

 

Tiada sebarang mod kerana setiap cerapan tidak mempunyai kekerapan.

 

 

 

MOD DATA TERKUMPUL:

 

SELANG KELAS	SEMPADAN KELAS	TANDA KELAS (xi)	KEKERAPAN (fi)	fixi	KEKERAPAN RELATIF (f/n)
5.4 – 9.3	5.35 –  9.35	7.35	4	29.40	0.16
9.4 – 13.3	9.35 – 13.35	11.35	4	45.40	0.16
13.4 – 17.3	13.35 – 17.35	15.35	8	122.80	0.32
17.4 – 21.3	17.35 – 21.35	19.35	5	96.75	0.20
21.4 – 25.3	21.35 – 25.35	23.35	3	70.05	0.12
25.4 – 29.3	25.35 – 29.35	27.35	1	27.36	0.04
JUMLAH			25	391.75	1.00

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

KELAS MOD:  13.4 – 17.3

 

 

Mod = L +        d₁               x C                          = 13.4 +           8-4     

             d₁ + d₂                                                                       (8-4)  + (8-5)          X 4

 

                                                           

                                                          

                                                                               4

                                                            = 13.4 +     7         X 4

                                                           

                                                         

                                                             = 13.4 + (0.571 ) X 4

 

                                                            = 15.683

 

 

 

 

Tiga jenis purata yang paling kerap digunakan dalam statistik  adalah:

·         Min arimetik @ min

·         Median

·         Mod

 

MIN:

“Purata” bagi sesuatu kumpulan data dikenali sebagai min arimetik @ min.

Min merupakan nisbah jumlah beberapa nilai terhadap bilangan nilai observasi.

 

MIN DATA TIDAK TERKUMPUL:

Rumus:

                          n

              x =         ∑  xi                                        

               i=1         = Jumlah Nilai Semua Cerapan

                            n                             Jumlah Bilangan Cerapan      

 

 

 

MIN DATA TERKUMPUL:

 

Rumus:

 

                         n

                  x =   ∑  fixi                                     

               i=1  

 

                  n

                            ∑  fi

                 i=1  

 

 

 

MEDIAN:

Satu nilai tengah bagi suatu kumpulan data iaitu membahagi dua sama sekumpulan data.

 

 

Rumus:

 

             n + 1                           - nilai tengah data di ambil selepas data disusun mengikut tertib tertentu

                2                              - jika data ganjil = cerapan tengah adalah median

                                                - jika data genap = 2 cerapan ditengah ditambah dan dibahagi dua

 

 

 

MEDIAN DATA TERKUMPUL:

 

Rumus:

 

·         KELAS MEDIAN

 

                                               

                                                ∑fi + 1 

                                                                        2

 

 

 

·         MEDIAN

 

                                                m= L +   ∑fi + 1  -fL       

                                                                     2                       x  C

                                                                                          

                                                                                                 fm

                m = nilai median

            L = sempadan bawah kelas median

            fL= kekerapan melonggok hingga ke- L

            fm= kekerapan kelas median

            C = lebar kelas

  

 

MOD:

 

nilai cerapan paling banyak berulang dalam sekumpulan data.

 

 

MOD DATA TIDAK TERKUMPUL

 

·         Cerapan yang mempunyai kekerapan tertinggi

·         Jika setiap cerapan mempunyai kekerapan yang sama, maka tidak wujud sebarang mod.

 

 

 

MOD DATA TERKUMPUL

 

 

                                    Mod = L +        d₁               x C

                                                         d₁ + d₂

 

 

 

 

·         L = sempadan bawah kelas mod

·         d₁= beza kekerepan antara kelas mod dan kelas sebelumnya

·         d₂= beza kekerapan antara kelas mod dan kelas selepasnya

·         C = lebar kelas mod